निश्चित समाकलनों के गुणों का उपयोग करके,$\int_{0}^{1} x(1-x)^{n} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

माना $I = \int_{0}^{1} x(1-x)^{n} d x$ है।
गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) d x = \int_{0}^{a} f(a-x) d x$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_{0}^{1} (1-x)(1-(1-x))^{n} d x$
$I = \int_{0}^{1} (1-x)(x)^{n} d x$
$I = \int_{0}^{1} (x^{n} - x^{n+1}) d x$
प्रत्येक पद का समाकलन करने पर:
$I = \left[ \frac{x^{n+1}}{n+1} - \frac{x^{n+2}}{n+2} \right]_{0}^{1}$
सीमाओं का मान रखने पर:
$I = \left( \frac{1^{n+1}}{n+1} - \frac{1^{n+2}}{n+2} \right) - (0 - 0)$
$I = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2}$
$I = \frac{(n+2) - (n+1)}{(n+1)(n+2)}$
$I = \frac{1}{(n+1)(n+2)}$